Analysis Beispiele

$y = e^{x^{5}} \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x^{5}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{5}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Schritt 3

Kombiniere $e^{x^{5}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} (5 x^{4}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren in $5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$ um.

$5 x^{4} e^{x^{5}} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$