Analysis Beispiele

$y = \frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x + 5)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 5}$ und $x^{2}$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + 0) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \cdot 1 - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{x + 5}$ mit $1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$8 (\frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombinieren.

$8 \frac{(x + 5) (\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) (2 x))}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$ .

$\frac{8 (x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (x + 5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 8 (x (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.4

Multipliziere $5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x)$ .

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Schritt 10.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 (\ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.4.2

Stelle $\ln ({(x + 5)}^{2})$ und $- 5$ um.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.4.3

Vereinfache $- 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{2})}^{5}$ .

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Schritt 10.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.7

Multipliziere $8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}))$ .

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Schritt 10.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 (x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.7.2

Vereinfache $- 8 \ln ({(x + 5)}^{2})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.8

Multipliziere $8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)$ .

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Schritt 10.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 (\ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.8.2

Stelle $\ln ({(x + 5)}^{10})$ und $- 8$ um.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.8.3

Vereinfache $- 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.9.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{2})}^{8}$ .

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Schritt 10.3.1.9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.9.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{10})}^{8}$ .

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Schritt 10.3.1.9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{10 \cdot 8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.1.9.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.3.2

Stelle die Faktoren in $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x$ um.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1} x^{4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1 + 4} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})$ heraus.

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (8 x) - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16})$ heraus.

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.5.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln ({(x + 5)}^{80})$ heraus.

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16}))$ heraus.

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))$ heraus.

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} + 5 x^{4}$ heraus.

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Schritt 10.6.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + 5 x^{4}}$

Schritt 10.6.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 5}$

Schritt 10.6.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} x + x^{4} \cdot 5$ heraus.

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Schritt 10.7

Zerlege $\ln ({(x + 5)}^{16})$ durch Herausziehen von $16$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Schritt 10.8

Zerlege $\ln ({(x + 5)}^{80})$ durch Herausziehen von $80$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x^{4} (x + 5)}$

Schritt 10.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} (x + 5)$ heraus.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Schritt 10.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Schritt 10.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 1 \cdot 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)$ heraus.

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Schritt 10.10.3.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{8 (x) - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.3.2

Faktorisiere $8$ aus $- 16 x \ln (x + 5)$ heraus.

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.3.3

Faktorisiere $8$ aus $- 80 \ln (x + 5)$ heraus.

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.3.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5))$ heraus.

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Schritt 10.10.3.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))$ heraus.

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5) - 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$