Analysis Beispiele

$y = \ln (\frac{3}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{x}$ zu dividieren.

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $1$ .

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{1 - 2}$

Schritt 9

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- x^{- 1}$

Schritt 10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$