Analysis Beispiele

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - x e^{- x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Schritt 6.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ um.

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x e^{- x} - e^{- x}$ mit $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $x e^{- x} - e^{- x}$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $x e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$