Analysis Beispiele

$y = 3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Schritt 9

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))) + 3 ((\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Schritt 10.2

Entferne die Klammern.

$3 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.2

Multipliziere $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.3.1.1

Multipliziere $3 \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 10.4.3.1.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.2

Multipliziere $3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 10.4.3.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.2

Stelle die Faktoren von $3 \sin (x) \cos (x)$ um.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.3.3

Addiere $3 \cos (x) \sin (x)$ und $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.7

Ordne Terme um.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.12

Multipliziere $(3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 10.4.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.13.1.1

Multipliziere $3 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 10.4.13.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.2

Multipliziere $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 10.4.13.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.4.13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 10.4.13.2

Stelle die Faktoren von $3 \sin (x) \cos (x)$ um.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 10.4.13.3

Addiere $3 \cos (x) \sin (x)$ und $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x)$

Schritt 10.4.14

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x)$

Schritt 10.4.15

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$

Schritt 10.4.16

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Schritt 10.4.17

Ordne Terme um.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 10.4.18

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1$

Schritt 10.4.19

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$

Schritt 10.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$ .

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Schritt 10.5.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Schritt 10.5.2

Addiere $6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$ und $0$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 10.6

Addiere $6 \cos (x) \sin (x)$ und $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) \sin (x)$