Analysis Beispiele

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2}) - x \sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \arcsin (\frac{x}{2}) - x \sqrt{4 - x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.16

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.19

Kombiniere $\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.20

Bringe ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.21

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.22.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.24

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x \cdot x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.25

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.26

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.27

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.28

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.29

Mutltipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.30

Um ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32

Multipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.32.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.33

Vereinfache ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.34

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Um $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.3

Um $- \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.2.4.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} (- 2 x^{2} + 4) + 2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$