Analysis Beispiele

$y = 400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$

Schritt 1

Da $400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$ nach $x$ gleich $400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$ .

$400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 15 - x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

$400 ((15 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $15 - x^{2}$ .

$400 (3 \cdot (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 3.8

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- (2 x)))$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 2 (- 2 x))$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$400 (3 \cdot 15) + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$400 \cdot 45 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $400$ mit $45$ .

$18000 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$18000 + 400 (- 3 x^{2}) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x \cdot x) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x^{1})) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{1 + 1}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{2}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (- 2 (- 2 x))$

Schritt 4.4.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (4 x)$

Schritt 4.4.12

Mutltipliziere $4$ mit $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 1600 x$

Schritt 4.4.13

Subtrahiere $2400 x^{2}$ von $- 1200 x^{2}$ .

$18000 - 3600 x^{2} + 1600 x$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$- 3600 x^{2} + 1600 x + 18000$