Analysis Beispiele

$y = 3 x e^{4 x^{2}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x e^{4 x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{4 x^{2}}] + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2}$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 (2 x))) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (8 x)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x^{1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (x^{1 + 1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (8 \cdot e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 10

Mutltipliziere $e^{4 x^{2}}$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}})) + 3 e^{4 x^{2}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$

Schritt 11.4

Stelle die Faktoren in $24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$ um.

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$