Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$ als ${(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ und $g (z) = \frac{z - 5}{z + 5}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = z - 5$ und $g (z) = z + 5$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \frac{d}{d z} [z - 5] - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z - 5$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + 0) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \cdot 1 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $z + 5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + 5$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.7

Da $5$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + 0)}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \cdot 1}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$

Schritt 9.8.3

Mutltipliziere $\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 \cdot {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z + 5}{z - 5})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{z + 5}{z - 5}$ an.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z + 5 - z - - 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Vereine die Terme

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{z + 5 - z + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.3

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{10}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 10.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(z + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(z + 5)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.6

Mutltipliziere $\frac{5}{{(z + 5)}^{2}}$ mit $\frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.7

Bringe ${(z + 5)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}} {(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8

Multipliziere ${(z + 5)}^{2}$ mit ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.8.1

Bewege ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.8.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{3}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$