Analysis Beispiele

$x^{\frac{y}{z}}$

Schritt 1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = \frac{y}{z}$ ist.

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{y}{z}$ und $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{z}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{z}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $x^{\frac{y}{z}}$ und $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Schritt 2.7.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ um.

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$