Analysis Beispiele

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = y + z$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + z$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

Schritt 3.4

Da $z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{y + z}$ mit $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um $e^{x y^{2}} (2 x y)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

Schritt 4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$