Analysis Beispiele

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Schritt 1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Schritt 2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 9}$ und $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Schritt 2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 3)$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 2.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 2.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$