Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.15

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.18

Kombiniere $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.19

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.20

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.21

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.21.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.21.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.23

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.24

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.25

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.27

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.28

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.29

Um ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.31

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.31.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.31.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.31.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.31.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.32

Vereinfache ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 2.33

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\arccos (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{1 - x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2

Es sei $u = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $u$ von $u$ .

$\frac{- 2 u x^{2} + 0}{- x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 2 u x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 2 u x^{2}}{- x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.4.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 4.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ um.

$- \frac{2 x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$