Analysis Beispiele

$5 \sqrt{x - 3}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sqrt{x - 3} d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + C$