Analysis Beispiele

$\frac{5 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{5 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4

Multipliziere $(5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (5 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.7

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.9

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.10

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Schritt 4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Schritt 4.12.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$