Analysis Beispiele

Bestimme das Integral (-x^3+17x^2-12x-9)/(x^4-3x^3)
Schritt 1
Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.3
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.6
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.6.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.6.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.6.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.6.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.1.6.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.6.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.1.6.4.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 1.1.6.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.6.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.1.6.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.6.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.6.7
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.6.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.6.9
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.6.10
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.1.6.10.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.6.10.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.1.6.10.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.6.10.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.6.10.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.10.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.6.10.2.5
Dividiere durch .
Schritt 1.1.6.11
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.6.12
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.1.6.12.1
Mutltipliziere mit .
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Schritt 1.1.6.12.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.6.12.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.6.12.2
Addiere und .
Schritt 1.1.6.13
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.6.14
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.6.15
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.6.16
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.6.16.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.16.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.7.1
Bewege .
Schritt 1.1.7.2
Bewege .
Schritt 1.1.7.3
Bewege .
Schritt 1.1.7.4
Bewege .
Schritt 1.1.7.5
Bewege .
Schritt 1.1.7.6
Bewege .
Schritt 1.2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 1.2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.3
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.4
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.5
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 1.3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 1.3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.1.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.1.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.1.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.2.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.3
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.3.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.5
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.5.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.5.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.5.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.5.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.5.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.5.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.5.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.6
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.6.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.6.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.6.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.7
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.7.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.7.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.7.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.7.2.2
Addiere und .
Schritt 1.3.8
Löse das Gleichungssystem.
Schritt 1.3.9
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für , , und ermittelt wurden.
Schritt 1.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Wende die grundlegenden Potenzregeln an.
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Schritt 4.1
Bringe aus dem Nenner durch Potenzieren mit .
Schritt 4.2
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 4.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 6
Vereinfache.
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Schritt 6.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Wende die grundlegenden Potenzregeln an.
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Schritt 8.1
Bringe aus dem Nenner durch Potenzieren mit .
Schritt 8.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 8.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 10
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 11
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 12
Mutltipliziere mit .
Schritt 13
Das Integral von nach ist .
Schritt 14
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 15
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 15.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1.1
Differenziere .
Schritt 15.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 15.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 15.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 15.1.5
Addiere und .
Schritt 15.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 16
Das Integral von nach ist .
Schritt 17
Vereinfache.
Schritt 18
Ersetze alle durch .