Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

Schritt 1

Dividiere $x^{2}$ durch $x^{2} + 5$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 5$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 6.2

Stelle $x^{2}$ und $5$ um.

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

Schritt 7

Schreibe $5$ als ${\sqrt{5}}^{2}$ um.

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ .

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ und $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ .

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Schritt 9.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$