Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$ um.

$x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 105 x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 105 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} - 3 x - 105$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} - 3 x - 105$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} - 3 x - 105 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 105$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 105)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Addiere $9$ und $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Addiere $9$ und $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Addiere $9$ und $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 105 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 105$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4