Analysis Beispiele

$y = x^{9} - 9 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{9} - 9 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{9} - 9 x = 0$ um.

$x^{9} - 9 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9} - 9 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9}$ heraus.

$x \cdot x^{8} - 9 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{8} + x \cdot - 9$ heraus.

$x (x^{8} - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$x ({(x^{4})}^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ({(x^{4})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{4}$ und $b = 3$ .

$x ((x^{4} + 3) (x^{4} - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{4} + 3) (x^{4} - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 3 = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{4} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{4} + 3$ gleich $0$ .

$x^{4} + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{4} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = - 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{- 3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{- 3}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{- 3}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{- 3}, - \sqrt[4]{- 3}$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{4} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{4} - 3$ gleich $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{4} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 3$

Schritt 1.2.6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Schritt 1.2.6.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{3}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Schritt 1.2.6.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{4} + 3) (x^{4} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt[4]{- 3}, - \sqrt[4]{- 3}, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt[4]{- 3}, 0), (- \sqrt[4]{- 3}, 0), (\sqrt[4]{3}, 0), (- \sqrt[4]{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{9} - 9 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{9} - 9 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{9} - 9 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache ${(0)}^{9} - 9 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt[4]{- 3}, 0), (- \sqrt[4]{- 3}, 0), (\sqrt[4]{3}, 0), (- \sqrt[4]{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4