Analysis Beispiele

$t = \frac{2}{x + 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (t) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x + 3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $t$ nach $x$ ist $t'$ .

$t'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x + 3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$2 (- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$t' = - \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$