Analysis Beispiele

$s = 32 + 64 t - 16 t^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (32 + 64 t - 16 t^{2})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $32 + 64 t - 16 t^{2}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Schritt 3.1.2

Da $32$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d s} [64 t]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $64 t$ nach $s$ gleich $64 \frac{d}{d s} [t]$ .

$0 + 64 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$0 + 64 t' + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 16 t^{2}$ nach $s$ gleich $- 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$0 + 64 t' - 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{2}$ und $g (s) = t$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d s} [t])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 u \frac{d}{d s} [t])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 t \frac{d}{d s} [t])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$0 + 64 t' - 16 (2 t t')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$0 + 64 t' - 32 t t'$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Addiere $0$ und $64 t'$ .

$64 t' - 32 t t'$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$- 32 t t' + 64 t'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - 32 t t' + 64 t'$

Schritt 5

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 32 t t' + 64 t' = 1$ um.

$- 32 t t' + 64 t' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $32 t'$ aus $- 32 t t' + 64 t'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $32 t'$ aus $- 32 t t'$ heraus.

$32 t' (- t) + 64 t' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $32 t'$ aus $64 t'$ heraus.

$32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2 = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $32 t'$ aus $32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2$ heraus.

$32 t' (- t + 2) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $32 t' (- t + 2) = 1$ durch $32 (- t + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $32 t' (- t + 2) = 1$ durch $32 (- t + 2)$ .

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- t + 2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $t'$ durch $1$ .

$t' = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$t' = \frac{1}{32 (- (t) + 2)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$t' = \frac{1}{32 (- (t) - 1 (- 2))}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (- 2)$ heraus.

$t' = \frac{1}{32 (- (t - 2))}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (t - 2)$ als $- 1 (t - 2)$ um.

$t' = \frac{1}{32 (- 1 (t - 2))}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t' = - \frac{1}{32 (t - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = - \frac{1}{32 (t - 2)}$