Analysis Beispiele

$r = \frac{4 e^{w}}{5 w}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d w} (r) = \frac{d}{d w} (\frac{4 e^{w}}{5 w})$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $w$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{w}}{5 w}$ nach $w$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ gleich $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ist mit $f (w) = e^{w}$ und $g (w) = w$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ gleich $a^{w} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ .

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ heraus.

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Schritt 3.5.4.1

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} w$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $- 4 e^{w}$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{5 w^{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d w}$ .

$\frac{d r}{d w} = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$