Analysis Beispiele

$s = t^{5} \ln (t)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{5} \ln (t))$

Schritt 2

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{5}$ und $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$t^{5} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $t^{5}$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{5}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{5}$ und $t$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{5}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{4}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.2.2.5

Dividiere $t^{4}$ durch $1$ .

$t^{4} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$t^{4} + \ln (t) (5 t^{4})$

Schritt 3.3.4

Stelle die Terme um.

$t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Schritt 5

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$