Analysis Beispiele

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $s$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 s^{2}}$ nach $s$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{s^{2}}$ als ${(s^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{- 1}$ und $g (s) = s^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.7

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{- 2}{3}$ und $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.12

Bringe $s^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{5}{2}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{2 s}$ nach $s$ gleich $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{s}$ als $s^{- 1}$ um.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $s^{- 2}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

Schritt 3.3.7

Bringe $s^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$