Analysis Beispiele

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $s$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 s}$ nach $s$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{s}$ als $s^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.2.5

Bringe $s^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{8}{5}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{5 s^{4}}$ nach $s$ gleich $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{s^{4}}$ als ${(s^{4})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{- 1}$ und $g (s) = s^{4}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $s^{- 8}$ mit $s^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{32}{5}$ und $s^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

Schritt 3.3.12

Bringe $s^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$