Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x \sqrt{5 - x^{2}} = 0$ um.

$x \sqrt{5 - x^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(x \sqrt{5 - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - x^{2}}$ als ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${(x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$x^{2} {({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Vereinfache.

$x^{2} (5 - x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.4.2

Stelle um.

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Schritt 1.2.3.2.1.4.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \cdot x^{2} - x^{2} x^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{2} - (x^{2} x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2} - x^{2 + 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{2} - x^{4} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{2} - x^{4} = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2} - x^{4}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$x^{2} \cdot 5 - x^{4} = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2})$ heraus.

$x^{2} (5 - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.4.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4.4

Setze $5 - x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.4.1

Setze $5 - x^{2}$ gleich $0$ .

$5 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Löse $5 - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 5$

Schritt 1.2.4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.4.4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.4.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Schritt 1.2.4.4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (5 - x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 \sqrt{5 - 0^{2}}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $(0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 \sqrt{5 - 0}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 \sqrt{5 + 0}$

Schritt 2.2.3.3

Addiere $5$ und $0$ .

$y = 0 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4