Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sin (4 x)}{2 x}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{\sin (4 x)}{2 x}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$\sin (4 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - 0$

Schritt 1.2.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 x = π + 0$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$4 x = π$

Schritt 1.2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 1.2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 1.2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.2.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.2.2.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.3

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{\sin (4 (0))}{2 (0)}$

Schritt 2.2

Die Gleichung hat einen nicht definierten Bruch.

Undefiniert

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4