Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$ um.

$x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 18 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + 81 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $81 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 18 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81$ heraus.

$x (x^{2} - 18 x + 81) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x (x^{2} - 18 x + 9^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Schritt 1.2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 9$ .

$x {(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x - 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x - 9)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (9, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 18 \cdot 0^{2} + 81 (0)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 18 \cdot 0 + 81 (0)$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 81 (0)$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $81$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (9, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4