Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} + 25)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \ln (x^{2} + 25)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x^{2} + 25) = 0$ um.

$\ln (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 1.2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + 25)} = e^{0}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\ln (x^{2} + 25) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} + 25$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 25 = e^{0}$ um.

$x^{2} + 25 = e^{0}$

Schritt 1.2.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + 25 = 1$

Schritt 1.2.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1 - 25$

Schritt 1.2.4.3.2

Subtrahiere $25$ von $1$ .

$x^{2} = - 24$

Schritt 1.2.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 24}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 24}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.5.1

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (24)}$

Schritt 1.2.4.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$

Schritt 1.2.4.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{24}$

Schritt 1.2.4.5.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}$

Schritt 1.2.4.5.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 1.2.4.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{6})$

Schritt 1.2.4.5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{6}$

Schritt 1.2.4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{6}$

Schritt 1.2.4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{6}$

Schritt 1.2.4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{6}, - 2 i \sqrt{6}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \ln ({(0)}^{2} + 25)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (0^{2} + 25)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(0)}^{2} + 25)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\ln ({(0)}^{2} + 25)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \ln (0 + 25)$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $25$ .

$y = \ln (25)$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \ln (25))$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \ln (25))$

Schritt 4