Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x = 0$ um.

$x^{3} - 8 x^{2} - 20 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 8 x^{2} - 20 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - 20 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 20 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot - 20 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 8 x) + x \cdot - 20 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot - 20$ heraus.

$x (x^{2} - 8 x - 20) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 10, 2$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 10) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 10) (x + 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 10) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 10, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (10, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 8 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 20 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (10, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4