Analysis Beispiele

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7 x^{2}$ und $g (x) = 6 x + 5^{2}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 4.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $6$ .

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

Schritt 5.2.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $14$ mit $25$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

Schritt 5.2.9

Addiere $42 x^{2}$ und $84 x^{2}$ .

$126 x^{2} + 350 x$