Analysis Beispiele

$\frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = \frac{4}{3}$ und $g (r) = p r^{3}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d r} [p r^{3}] + p r^{3} \frac{d}{d r} [\frac{4}{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $p$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $p r^{3}$ nach $r$ gleich $p \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4}{3} (p \frac{d}{d r} [r^{3}]) + p r^{3} \frac{d}{d r} [\frac{4}{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (p (3 r^{2})) + p r^{3} \frac{d}{d r} [\frac{4}{3}]$

Schritt 2.3

Stelle um.

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Schritt 2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{4}{3} (3 \cdot p r^{2}) + p r^{3} \frac{d}{d r} [\frac{4}{3}]$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $3 p r^{2}$ um.

$\frac{4}{3} (3 r^{2} p) + p r^{3} \frac{d}{d r} [\frac{4}{3}]$

Schritt 2.4

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3}$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{4}{3} (3 r^{2} p) + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3

Vereine die Terme

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Schritt 3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} (r^{2} p) + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{3} (r^{2} p) + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{12}{3}$ .

$\frac{r^{2} \cdot 12}{3} p + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{r^{2} \cdot 12}{3}$ und $p$ .

$\frac{r^{2} \cdot 12 p}{3} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.5

Bringe $12$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} p}{3} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 r^{2} p$ heraus.

$\frac{3 (4 r^{2} p)}{3} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 r^{2} p)}{3 (1)} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 r^{2} p)}{3 \cdot 1} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 r^{2} p}{1} + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.6.2.4

Dividiere $4 r^{2} p$ durch $1$ .

$4 r^{2} p + p r^{3} \cdot 0$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $0$ mit $p$ .

$4 r^{2} p + 0 r^{3}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $0$ mit $r^{3}$ .

$4 r^{2} p + 0$

Schritt 3.9

Addiere $4 r^{2} p$ und $0$ .

$4 r^{2} p$