Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \cdot 1) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) + (- (3 x^{2}) - (- 5 x)) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 1) (6 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x - 5) + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.4

Mutltipliziere $6 x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{1 + 2}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{3}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 3 x^{3} \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 (x \cdot x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x^{2}) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 0 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $- 5 x^{2} + 6 x - 5$ und $0$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Addiere $- 5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$