Analysis Beispiele

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$- \csc^{2} (x)$