Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{3} \sin (x) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$ um.

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{3} \sin (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cos (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ als $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ um.

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$