Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{2 x^{4} - 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2$ und $g (x) = 2 x^{4} - 5$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \frac{d}{d x} [2] - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + 0)}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{4} \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $2 x^{4} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 x^{4} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{4}$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{0 + 0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 - 16 x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $16 x^{3}$ von $0$ .

$\frac{- 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$