Analysis Beispiele

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 3)$ durch $1$ .

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.6.1

Bewege $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.7

Bewege $3 A$ .

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 3 = 3 A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 1$ um.

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 A = - 3$ um.

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 3$ durch $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Schritt 3.4

Löse in $0 = - 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + B = 0$ um.

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = - 1 C = 1$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$