Analysis Beispiele

$\frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x + h$ und $b = x$ .

$\frac{(x + h - x) ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(h + 0) ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.2

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.3

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{h ((x + h) (x + h) + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (x (x + h) + h (x + h) + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (x \cdot x + x h + h (x + h) + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{h (x^{2} + x h + h x + h \cdot h + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.5.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{h (x^{2} + x h + h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 1.2.5.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{h (x^{2} + h x + h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x \cdot x + h x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2} + h x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.8

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{h (2 x^{2} + 2 h x + h^{2} + h x + x^{2})}{h}$

Schritt 1.2.9

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{h (3 x^{2} + 2 h x + h^{2} + h x)}{h}$

Schritt 1.2.10

Addiere $2 h x$ und $h x$ .

$\frac{h (3 x^{2} + h^{2} + 3 h x)}{h}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (3 x^{2} + h^{2} + 3 h x)}{h}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + h^{2} + 3 h x$ durch $1$ .

$3 x^{2} + h^{2} + 3 h x$

Schritt 2.2

Bewege $3 x^{2}$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$