Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{s + k e^{s}}$ als ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{- 1}$ und $g (s) = s + k e^{s}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s + k e^{s}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Schritt 3.3

Da $k$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $k e^{s}$ nach $s$ gleich $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ gleich $a^{s} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ um.

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1 - k e^{s}$ mit $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- k e^{s}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (k e^{s})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$