Analysis Beispiele

$\frac{\ln (t)}{t^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{t^{2}}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{t \cdot t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t^{1}} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{t}{1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $t$ durch $1$ .

$\frac{t - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t - \ln (t) (2 t)}{t^{4}}$

Schritt 4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{t - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $t$ aus $t - 2 \ln (t) t$ heraus.

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{1} - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t \cdot 1 - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $t$ aus $- 2 \ln (t) t$ heraus.

$\frac{t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Schritt 4.4.2.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))$ heraus.

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 \ln (t)}{t^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache $- 2 \ln (t)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln (t^{2})}{t^{3}}$