Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{d + k e^{d}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{d + k e^{d}}$ als ${(d + k e^{d})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d \cdot d} [{(d + k e^{d})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [f (g (d))]$ ist $f' (g (d)) g' (d)$ , mit $f (d) = d^{- 1}$ und $g (d) = d + k e^{d}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $d + k e^{d}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $d + k e^{d}$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $d + k e^{d}$ nach $d$ $\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ gleich $n d^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Schritt 3.3

Da $k$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $k e^{d}$ nach $d$ gleich $k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [a^{d}]$ gleich $a^{d} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k e^{d})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$ um.

$- (1 + k e^{d}) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1 - k e^{d}$ mit $\frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- k e^{d}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (k e^{d})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$