Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Schritt 4.2.6

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Addiere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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