Analysis Beispiele

$h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} - 2 e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 e^{x}] - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$ .

$\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x \cdot x + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Schritt 6.5

Stelle die Faktoren in $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$ um.

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$