Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} e^{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$