Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

Schritt 4.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.1

Addiere $e^{x^{2}} (2 x)$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $e^{x^{2}}$ und $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ um.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$