Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x \ln (x)$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$5 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$5 (1 + \ln (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 1 + 5 \ln (x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + 5 \ln (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$5 \ln (x) + 5$