Analysis Beispiele

$f (x) = (3 x + 4) (4 x - 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x + 4$ und $g (x) = 4 x - 5$ .

$(3 x + 4) \frac{d}{d x} [4 x - 5] + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x + 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x + 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(3 x + 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x + 4) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$(3 x + 4) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $3 x + 4$ .

$4 \cdot (3 x + 4) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + 0)$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) \cdot 3$

Schritt 2.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x - 5$ .

$4 (3 x + 4) + 3 \cdot (4 x - 5)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x - 5)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$12 x + 16 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x + 16 + 12 x + 3 \cdot - 5$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$12 x + 16 + 12 x - 15$

Schritt 3.3.5

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$24 x + 16 - 15$

Schritt 3.3.6

Subtrahiere $15$ von $16$ .

$24 x + 1$