Analysis Beispiele

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x} - e^{y} y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $- e^{y} y' + e^{x}$ um.

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Schritt 5.2

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Schritt 5.3

Subtrahiere $e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{y} + y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{y}$ heraus.

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 e^{y}$ als $- e^{y}$ um.

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ durch $- e^{y} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ durch $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{y} + 1$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Schritt 5.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{y}$ heraus.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Schritt 5.6.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.6.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Schritt 5.6.3.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.6.3.6.1

Schreibe $- (e^{y} - 1)$ als $- 1 (e^{y} - 1)$ um.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Schritt 5.6.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$