Analysis Beispiele

$f (x) = 5 e^{3 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{3 x^{2} - 5 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2} - 5 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2} - 5 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} - 5 x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 5 x$ .

$5 (e^{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 e^{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$