Analysis Beispiele

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $10 y y' - 32 x^{3}$ und $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $32 x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' = 32 x^{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 32 x^{3}$ durch $10 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 32 x^{3}$ durch $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $10$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$